初期値とパラメータの微分


微分方程式の解を初期値やパラメータで微分した関数が変分方程式の解として求められることを示す.これらの変分方程式は,Poincaré 写像の固定点を求めるニュートン法の計算や分岐問題の計算に利用する.

ここでは,状態空間 img1.png で定義された非自律系:

img2.png ...(1)

を考える.img3.png は時刻を表す実数であり,img4.png は状態,img5.png はパラメータを表す:

img6.png

また,右辺を定義している写像:

img7.png

は各引数について連続でかつ必要な回数だけ微分可能な性質を持つと仮定する.式(1)を各成分で書くと

img8.png ...(2)

となる.

さて,パラメータを img9.png と固定し,時刻 img10.pngimg11.png を満たす式(1)の解を

img12.png ...(3)

あるいは,成分で

img13.png ...(4)

と表すことにしよう.解(3)は,時刻 img3.png,初期時刻 img14.png,初期値 img15.png,およびパラメータ img16.png の関数となっている.img17.png の可微分性によって,解はこれらの引数に関して可微分となる.次にこれらの引数に関する解の微分が従う微分方程式を導こう.

式(1)に解(3)を代入して,次の恒等式が成り立っていることに注意しておく.

img18.png ...(5)

および

img19.png ...(6)



初期値での微分

初期値に関する解の 1 階および 2 階微分を考えよう.まず,式(5)の両辺を img15.png で偏微分して,微分の順序を入れ替えると,線形同次行列微分方程式:

img20.png ...(7)

を得る.また,式(6)も同様に微分すると次式となる.

img21.png ...(8)

したがって,解の初期値に関する 1 階微分は第 1 変分方程式(7)を初期値(8)と定めて解けばよい.なお,式(7), (8)を成分で書くと次式となる.

img22.png ...(9);

ここに img23.png はクロネッカの img24.png すなわち,

img25.png

を表す.次に,2 階微分を考えよう.式(7), (8)をもう一度 img15.png で偏微分して,次の初期値に関する第 2 変分方程式を得る.

img26.png ...(10)

成分で書くと,式(9)を参照して

img27.png ...(11)



パラメータでの微分

次に,パラメータに関する解の 1 階,および初期値とパラメータに関する 2 階微分を考えよう.まず,式(5) の両辺を img5.png で偏微分して,微分の順序を入れ替えると,線形非同次行列微分方程式:

img28.png ...(12)

を得る.また,式(6)も同様に微分すると次式を得る.

img29.png ...(13)

したがって,解のパラメータに関する 1 階微分は,パラメータに関する第 1 変分方程式(12)を初期値(13)と定めて解けばよい.なお,式(12), (13) を成分で書くと次式となる.

img30.png ...(14)

次に,初期値に関する微分をパラメータでもう一度微分してみよう.式(7), (8) をパラメータで微分して次式を得る.

img31.png ...(15)

念のため成分でも書いておくと,次式となる.

img32.png ...(16)

このようにして,解の引数に関する任意の微分が,同じ階数だけ変分方程式を微分した方程式の解となることが分かる.



例) 2 次元系の変分方程式

具体的に 2 次元系について,解の微分が従う方程式を公式として列挙しておこう.方程式

img33.png ...(17)

を考える.解を

img34.png ...(18)
img35.png ...(19)

とする.各微分が満たす微分方程式は次式となる.ここで記法を簡単にするため,まず最初に次の行列を定義しておく.いずれも値は解(18)を代入したものとする.

img36.png ...(20)



  • 初期値に関する第 1 変分方程式:
    img37.png ...(21)



  • パラメータに関する第 1 変分方程式:
    img38.png ...(22)



  • 初期値に関する第 2 変分方程式:
    img39.png ...(23)



  • 初期値とパラメータに対する 2 階微分に関する変分方程式:
    img40.png ...(24)




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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3309d)