離散系


離散系(Discrete system)

状態は連続量であるが,時刻が離散量で記述される 力学系を離散系(discrete system)とよぶ.

ある整数の集合を img1.png と書くことにする:

img2.png ...(1)

img3.png 次元状態空間 img4.png で定義される離散時間力学系は次の差分方程式(漸化式ともいう)で表される:

img5.png ...(2)

ここに式(2)の右辺の写像:

img6.png ...(3)

は微分方程式の場合と同様に各引数に関してなめらかであると仮定しておこう.img7.pngimg8.png に依存しない場合を自律系,そうでない場合を非自律系と呼ぶことも連続時間の場合と同じである.ソフトウェア BunKi では主として離散時間自律系の問題を考える.離散力学系では 1 単位時間経過する毎に,状態 img9.png が写像 img7.png によってつぎの状態 img10.png に写されてゆく.すなわち img11.png において初期値 img12.png を与えると,次のように点列が生成される.

img13.png ...(4)

特に自律系

img14.png ...(5)

の場合には, img9.png は写像 img7.pngimg8.png 回繰り返し img15.png によって求められる.

img16.png ...(6)

写像 img7.png によって変化しない点:

img17.png ...(7)

をこの系の固定点(fixed point) という.固定点は静止した状態といえる.したがって固定点は,自律系微分方程式の平衡点に対応した離散系の基本的状態の一つである.

写像 img7.png が逆写像 img18.png を持つ場合は

img19.png ...(8)

のように,過去に向かっても状態をさかのぼることができる.つまり解を一意的に過去と未来に延長できる.写像 img7.png とその逆写像 img18.png が共に微分可能な写像となっている場合, img7.png微分同相写像という. 後に連続時間系の周期解を解析する際,このような微分同相写像を用いて連続時間状態を離散化して解析を行う.



例) 2 次元離散系の例

エノン(Hénon) 写像として知られる 2 次元離散系は次式で定義される.

img20.png ...(9)

式(9)の右辺の写像は,img21.png のときヤコビ行列式 img22.png

img23.png ...(10)

であるから,微分同相写像である.実際,式(9) の逆写像は直ちに求められる.

img24.png ...(11)

したがって,過去(時間の負の方向)に向かって状態を一意的に計算できる.■



例) ロジスティック方程式の状態

ロジスティック方程式は,2 次写像:

img25.png ...(12)

で定義されている.この写像は逆写像を持たない.したがって過去に向かって状態を一意的に求めることができない.■




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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3309d)