分岐の発生


平衡点の分岐発生条件

状態空間 img1.png を原点を含む開集合とし,自律系

img2.png ...(1)

を考える.このとき,式(1)で与えられる力学系の平衡点が,パラメータ img3.pngの値の変化に対してどのような定性的変化を伴うかという問題を考えよう.平衡点の座標は

img4.png ...(2)

の根で与えられる.したがって,パラメータ変化に伴う平衡点の個数の変化は,式(2)のヤコビ行列が特異となる点でおこる.言い換えるとヤコビ行列の固有値に零が含まれると平衡点は重複し,個数に変化をもたらす.もう一つの定性的変化は平衡点の安定性の変化である.これは,ヤコビ行列の固有値が純虚数となった場合起こる可能性がある. この状況を図にしたものが以下の図1になる.

eig_eq.png

図1. 特異となる点.

これら 2 つの場合のいずれも,平衡点が双曲的性質を失った場合であることに注意しよう.すなわち,平衡点の質的変化はパラメータの変化に伴って,平衡点が双曲的性質を失うパラメータの値で生じることとなる. この現象を平衡点の分岐(bifurcation)という.分岐の起こるパラメータを分岐値(bifurcation value)という.以下,分岐に関係した固有値 img5.png は分岐値 img6.png において

img7.png ...(3)

を満たすと仮定する. これはパラメータが変化したときに確かに分岐が起こる条件といってよい.

さて,平衡点の分岐をもう少し詳しくみてみよう. ここでの議論はパラメータ img3.png の 1 つの成分を変えることで十分なので, 以下 img3.pngimg8.png 個の成分のうち img9.png 個を固定し,残りの 1 個を変えるものとする.したがって img3.png はスカラー img10.png とする.

img11.png を式(2)の平衡点としよう.平衡点 img12.png における式(2)のヤコビ行列を

img13.png ...(4)

とおき,この行列の特性方程式を

img14.png ...(5)

とする.平衡点の座標と特性根は一般にパラメータの複雑な関数である. 双曲型平衡点では,すべての特性根について

img15.png ...(6)

となっている.

パラメータを変化させたとき,特性根についてのこの条件が 1 つでも崩れるとそのパラメータの値で分岐がおこる. 平衡点の分岐は,Saddle-node 分岐Hopf 分岐の 2 種類が一般的である.



リミットサイクル(周期解)の分岐発生条件

非自律系の周期解の分岐について考えよう.自律系の場合は Poincaré 写像を用いて同様に議論できる.いずれにしろ周期解の分岐を Poincaré 写像の固定点・周期点の分岐と考えて,分岐のタイプの可能性を調べるとよい.

いま,状態空間 img16.png で定義されたなめらかで周期的な非自律系:

img17.png ...(7)

を考えよう.ここに img18.png はこの系のパラメータを表す.また,式(7)の右辺は img19.png に関して周期 img20.png の周期関数:

img21.png ...(8)

としておく.初期値を与える時刻を img22.png と考えて, img22.pngimg23.png を初期値とする式(7)の解を

img24.png ...(9)

とし,Poincaré 写像を

img25.png ...(10)

で定義しよう.また,式(7)が周期 img26.png の周期解を持つとして,これに対応する img27.png の固定点方程式:

img28.png ...(11)

を満たす固定点を img11.png ,その特性方程式を

img14.png ...(12)

とする.ここに,

img29.png ...(13)

とおいた.さて,固定点の双曲性が崩れるのは,式(12)の特性根の 1 つが,複素平面上の単位円上に位置する場合(図2)である.このことを考慮して余次元 1 の分岐のタイプを分けると,Saddle-node 分岐周期倍分岐Neimark-Sacker 分岐の 3 種類となる.

ch_eq.png




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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3227d)