LimitCycle

これまでのように状態空間を とし，状態速度が次式で与えられる力学系を考える：

... (1)

ここに， は時刻を表す実数であり ， は状態を表す．また，状態の時間に関する微分は上付きドットで表した．右辺を定義している写像（状態速度ベクトル）：

は連続でかつ必要な回数だけ微分可能な性質を持つと仮定しよう．言い換えると，すべての初期値に対して解の存在と一意性が満たされ，かつ解は未来と過去に延長可能であるとする．

式 (1) の周期解とは，ある正数 があって

... (2)

の性質を持つ解のことである．正数 をこの周期解の周期という． が周期ならば， も周期である．通常最小の周期を単に周期という．以後問題とならない限り，周期といえば最小周期を意味するものとしよう．なお，平衡点は自明な周期解で，任意の正数 を周期として持つ．以下，断らない限り周期解といえば平衡点以外の周期解を意味するものとしよう．

今，式 (1) の解を

... (3)

と書くことにする．式 (2) の周期解があったとして，初期値 をこの解となるように選んだとしよう．すると解 (3) は周期解を表し，式 (2) の周期性の性質は

... (4)

と書くこともできる．つまり，この式を満足する正数 と初期値 を持つ解があれば，それは周期解である．状態空間内での集合：

... (5)

を周期軌道(periodic orbit) または閉軌道(closed orbit)という．周期軌道上の任意の初期値を出発する解は，式 (4) の性質を持つ．

一般に周期解に限らず，解 (3) の軌跡を軌道(orbit) という．これを

... (6)

と書くことにする．未来へ延長した解からなる軌道：

... (7)

を正の半軌道(positive semi-orbit)，過去へ延長した解からなる軌道：

... (8)

を負の半軌道(negative semi-orbit) ということがある．もちろん

... (9)

となっている．解の一意性から軌道は，平衡点以外の点では，決して交わることはない．

周期 の周期解の近傍に別の周期解が存在しないとき，つまり孤立した周期解となっているとき，この周期解を極限閉軌道(リミットサイクル，Limit Cycle)という．散逸系の周期解は大抵の場合，リミットサイクルとなる．

例として人工的方程式のように見えるが次の力学系を考えよう．

... (10)

まず， の場合，単振動の方程式となるので，解

... (11)

を持っている．ここに， と は任意の正定数である．さて， の場合， と を時間の関数と考え，式 (11) を極座標への座標変換 とみて，

... (12)

の関係式を使って と に関する方程式を導くと，次式を得る．

... (13)

したがって，位相については （一定）となり，振幅 については の場合， では ， では となるので， が不安定な， が安定な平衡点となっている． このことから式 (10) はリミットサイクル

... (14)

を持つ．また，原点は不安定な平衡点である． 原点以外の初期値から出発する軌道は， 時間が経つとリミット・サイクル (14) に漸近することも分かる． なお，このリミット・サイクル上では， 位相が一定となり変化しないことに注意しよう． すなわち，リミット・サイクル (14) は振幅については漸近安定であるが， 位相についてはそうでない． 後にみるように， この性質は一般のリミット・サイクルについても言えることである． これを軌道安定(orbitally stable) であるという． 相平面図を図 1 に示した．

式 (10) に関連して，方程式

... (15)

も，式 (14) をリミット・サイクルとして持つ． 更に van der Pol 方程式：

... (16)

やレーリィーの方程式：

... (17)

も定性的に同じような性質を持っている．すなわち軌道安定なリミットサイクルを 1 つ持つ． ■