局所的な分岐



平衡点固定点の分岐について考える.余次元 1 の分岐として知られる平衡点と固定点の分岐のタイプについて記述する.ここでの分岐現象とは系のパラメータが変化することによって,その系が持つ平衡点や固定点の位相幾何学的性質が変わってしまう現象のことである.一般に位相幾何学的性質が変化する,すなわち平衡点固定点の双曲的性質が変化することを,定性的あるいは質的変化が起こるという.これらの質的変化は力学系の状態空間での運動全体にも影響を与えることがあり,非線形現象を理解する上で基本的かつ重要な事柄である.

平衡点や固定点の分岐は,状態空間の 1 点でおこる現象なので局所的な分岐現象と呼ばれる.



平衡点の Saddle-node 分岐

特性根の 1 つが img1.png となるとき,平衡点条件式;

img2.png ...(1)

より求まる平衡点は,一般に重根を持つ.これは,パラメータの変化によって,平衡点対の消滅あるいは発生をみることに対応する.このとき残りの特性根の性質はあまり変化しないので,対となって出現あるいは消滅する平衡点は不安定不変部分空間の次元が隣り合ったものとなる.

img3.png ...(2)

この関係式は,ここでのみ使用される馴染みの少ない式であるが,次のように読むことにしよう.

記号 img4.png の右辺と左辺は,分岐の生じる前後のパラメータで見られる平衡点のタイプを示している.分岐式(2)の場合について説明する.

まず, img5.png において分岐が生じたとしよう.このとき

  1. img6.png のパラメータでは,2 つの双曲型平衡点 img7.pngimg8.png が存在していた.
  2. img5.png において分岐が起こり, img7.pngimg8.png が 1 つに合体した非双曲型平衡点となり,
  3. img9.png においては,この非双曲型平衡点が消滅して存在しなくなった.ここでは存在しない状態を便宜上 img10.png で表した.

この変化を

img11.png ...(3)

で表すことにする.パラメータを逆に変化させると逆の分岐がおこる.

img12.png ...(4)

文脈から,前者は平衡点対の消滅,後者は発生といってよいであろう.これらの分岐プロセスをあわせて略記した分岐式が式(2)である.

この平衡点対の発生・消滅の分岐は,色々な呼び方で知られている.例えば平衡点がサドルとノード(結節点)の癒着であることからSaddle-node 分岐, 状態空間内で平衡点の集合がこの分岐点で折り返されていることからターニング点(turning point) などの名称もよく使われている.また,fold bifurcation とも呼ばれる. Saddle-node 分岐という呼び名は本来,式(2)で img13.png または img14.png の場合に限定されるべきであることに注意する. この Saddle-node 分岐の一般的な場合も含め,接線分岐(tangent bifurcation) と呼んだほうが無難であると思われる.これは,2 次方程式の根が重根となった状況をグラフで描くと丁度 img15.png 軸に放物線が接した状態となっていることと同じ現象といえるからである.なお,式(2)の不安定次元 img16.png は, img17.png まで変わり得る.したがって,接線分岐には位相的にタイプの異なる img18.png 種類の分岐が考えられることとなる.図 1 参照.

さて,接線分岐の生じる条件について考えよう.特性根の 1 つが零根となることから,特性方程式:

img19.png ...(5)

より

img20.png ...(6)

を得る.これを幾何学的にみてみよう. いま,平衡点の存在している空間 img21.png とパラメータの空間 img22.png からなる直積空間 img23.png 内で,式(1) と式(6)を合わせて考えよう.式(1)は img18.png 個の式から決まる 1 つの曲線を描くであろう. 他方,式(6)は 1 個の式であるから img24.png 次元の超曲面となっている. 両者を満足する点は,平衡点を表す曲線が丁度この超曲面と接している点となっている. 式(6)のように, 条件式が 1 個の分岐を一般に余次元 1 の分岐(co-dimension 1 bifurcation)と呼ぶ.

img25.png
図 1: 接線分岐と Hopf 分岐(4 次元系の場合).



平衡点の Hopf 分岐


img26.png
図 2: Hopf 分岐:Super-critical (a) と Sub-critical (b) な場合.


もう一つの分岐, すなわち 1 組の特性根が複素平面上で虚軸を横切る場合を考えよう.左半平面から右半平面に移動したとすると,不安定部分空間の次元は 2 だけ大きくなる. このとき,渦心点となった平衡点からリミット・サイクルが湧き出したり, あるいは渦心点へリミット・サイクルが吸い込まれ消滅する.この分岐を Hopf 分岐(Hopf bifurcation) という.分岐式で表すと

img27.png ...(11)

となる.ここに img28.pngリミット・サイクルを表し,その Poincaré 写像による固定点の性質が img29.png タイプであることを示す.図 2 参照.

なお,式(11) 第 1 式の場合を super-critical,第 2 式の場合を sub-critical な Hopf 分岐ということがある. Hopf 分岐は 2 次元以上の自律系において起こる分岐であり,式(11)の平衡点の不安定次元の img16.png は 0 から img30.png まで変わり得る.したがって img24.png 個の位相的に異なる Hopf 分岐が存在し得る(図 1 参照).このうち安定なリミット・サイクルの見られるのは, img13.png の Super-critical Hopf 分岐の場合である.

Hopf 分岐の生じる条件は,

img31.png ...(12)

である.この式は,実部と虚部から条件が 2 つ出てくるが, img32.png が未知周波数なので両式からこれを消去すると, 1 つの条件となる.なお img32.png は Hopf 分岐により生じる(または消滅する)リミット・サイクルの角周波数を表す.



周期振動の Saddle-node 分岐

パラメータの変化に伴って,2 つの対になった固定点が,癒着消滅,あるいは発生する分岐である*1. この分岐は特性根の 1 つが 1 となる場合におこる.すなわち,分岐の条件は

img33.png ...(18)

となる.分岐の起こる固定点対としては

img34.png ...(19)

のいずれかである.



周期倍分岐

この分岐は特性根の 1 つが -1 を横切る場合に生じる.分岐発生後,固定点安定性が変化し,対になった 2-周期点の発生(あるいは消滅)をみる.このことから分岐の名前が付けられている.分岐の条件は

img36.png ...(20)

となる.また,分岐式は

img37.png ...(21)

となる.ここに, img38.png はタイプが img39.png 型の 2 周期点で,その不安定次元が img16.png であることを表す.



Neimark-Sacker 分岐

1 組の複素特性根が,複素平面内の単位円を横切る分岐である. 平衡点Hopf 分岐に対応する固定点の分岐といえる.分岐の条件は

img40.png ...(22)

である.この分岐は Neimark と Sacker によって研究されたのでこの名前がある.平衡点との類似性から写像の Hopf 分岐と言ったりもする.一般にこの分岐が起こると,固定点の周りに写像 img41.png によって不変な閉曲線が発生または消滅する.

ただ,写像の場合はベクトル場の Hopf分岐と異なって,特性根が単位円上の特定の角度 img42.png を通過して変化すると,共振(resonance)と呼ばれる現象が見られ,発生または消滅する閉曲線上に img42.png に依存した特定の周期点対が現れる.

分岐のタイプは

img43.png ...(23)

である.ここで, img44.png不変閉曲線(invariant closed curve) を表す.この分岐式では,上述の共振現象に関係した事項は省略してある.なお,img44.png はもとの非自律系方程式の解では,一般に 2 つの基本周波数を持つ 2 重周期解(準周期解)となっている.

以上,3 種類の分岐の分岐式と双曲型固定点との関係を図示すると図 3 となる.

img45.png
図 3: 接線分岐,周期倍分岐と Neimark-Sacker 分岐(4次元の場合).



余次元の高い分岐

これまでの分岐は,条件式が 1 つの分岐,すなわち余次元 1 の分岐であった.一般に分岐の条件が重複すると,平衡点や固定点の退化の度合が大きい分岐が見られるようになる.また,力学系が特定の構造を持つと必然的に限られた特殊な分岐となる場合がある.たとえば,ハミルトン力学系や対称性のある力学系などがこの例である.自律ハミルトン系の平衡点は,系の構造から特性根は純虚根かあるいは実根しか取り得ないので,分岐問題も特殊な条件のもとに考えることとなる.

しばしば遭遇する余次元 2 の分岐としては,系の対称性に起因する平衡点や固定点の枝分かれ(branching)の分岐である.これは熊手型分岐(pitch-fork bifurcation) などとも呼ばれている.分岐式でその過程を示しておこう.

  • 平衡点の枝分かれ(平衡点の Pitch-fork 分岐)
    img46.png ...(24)
  • 固定点の枝分かれ(周期振動の Pitch-fork 分岐);
    img47.png ...(25)

パラメータ平面内で 2 つの接線分岐の分岐集合が接してできるカスプ点において接した方向にパラメータを変化させると,平衡点や固定点の枝分かれを観察することができる.




*1 平衡点の場合と同様,一般的なケースも考慮して,接線分岐(Tangent Bifurcation) と呼ぶのがふさわしいかもしれない.

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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3229d)