平衡点の Saddle-node 分岐の計算



状態空間 img1.png を原点を含む開集合とし,自律系

img2.png ...(1)

を考える.式(1)で与えられる力学系の平衡点が,パラメータ img3.png の値の変化に対してどのような定性的変化を伴うかという問題を考える.平衡点の座標は

img4.png ...(2)

の根で与えられる.したがって,パラメータ変化に伴う平衡点の個数の変化は,式 (2) のヤコビ行列が特異となる点でおこる.言い換えるとヤコビ行列の固有値に零が含まれると平衡点は重複し,個数に変化をもたらす.

この変分方程式の特性方程式を

img5.png ...(3)

とする.特性根の 1 つが零根となることから,式(3)より

img6.png ...(4)

を得る.

具体的な分岐集合の計算は,平衡点の式(2) と分岐の条件式(4) を連立させて Newton 法を利用して解く:

img7.png ...(5)

ここに,未知変数は img8.png とする. img9.pngimg10.png 次元パラメータ img11.png の成分を 1 つ選んで未知変数に繰り入れ,他は固定して考える.




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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3374d)