Newton法



次の非線形方程式の根を求める問題を考える.

img1.png ...(1)

例えば,微分方程式の平衡点を求める問題,差分方程式の固定点を求める問題は,式(1)の根を求める問題へと帰着するだろう.

一般に,数値計算によって方程式の根を求めるには次の手順に従う.

  1. 何らかの情報をもとにして最初の近似値,すなわち最初の近似値(初期近似値)を求めておく.
  2. 適切な漸化式を構成し,この漸化式によって逐次近似値を生成する.
  3. 引き続く近似値間のノルムや関数の値のノルムが,あらかじめ定めておいた誤差の範囲にはいれば計算を終了する.

この手順は,まさに求めようとする根あるいは解が,離散力学系の漸近安定な固定点となるように,1 つの力学系を構成する問題である.ニュートン法は収束の良いこの力学系の 1 つと考えられる.

さて,ニュートン法では,漸化式として次式を使用する.

img2.png ...(2)

あるいは,まとめて書くと次式となる.

img3.png ...(3)

ここに

img4.png ...(4)

は,式 (1) の点における微分,すなわちヤコビ行列を表す.なお,具体的な計算では式(3)によって近似値を逐次生成するのではなく,式(2),第 2 式の連立方程式を解いて img5.png を求め,これを第 1 式に代入する.

さて,ニュートン法で問題となることは,漸化式(3)から

img6.png ...(5)

となる平衡点では,近似列を生成できないことである.これはヤコビ行列が零固有値を少なくとも 1 つ持つことを意味し,方程式(1)に重複した根の存在することを意味している.この場合については,分岐問題として参照する.もうひとつの問題は,いかにして最初の近似値を求めるかという初期値設定もしくは探索問題である.これは多くの場合,問題の出展にさかのぼって問題の性質から見出すことができる.解析ツール BUNKI では,この初期値設定,探索のために PP ツールを利用する.




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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3227d)