非自律系(Non-autonomous system)



時間を陽に含んだ方程式で記述される系は, 非自律系(Non-autonomous system) と呼ばれる:

img1.png ... (1)

すなわち,非自律系方程式(1)で定義される力学系には,状態速度に時刻 img2.png が含まれている. 形式的には,時間を一つの新しい状態変数:

img3.png ... (2)

と考えて,式(1) を

img4.png ... (3)

と書き直し,img5.png 次元の自律系として扱えばよい. ただしこの場合,式(3) の第 2 式の右辺は 1 であり絶対に零とならないので,平衡点は存在しない.解は常に時間軸方向に一定速度で流れてしまう. このことから, 非自律系に対しては自律系とは別の解析法を工夫する必要が生じる.また,自律系のように時間軸の平行移動に対して方程式は不変ではない.初期値を与える時刻についても注意する必要がある.なお,ここでは主として非自律系のうち速度ベクトル場が時間に関して周期的であるような特別な場合を取り扱う.すなわち,周期を img6.png として

img7.png ... (4)

となっている系を考える.この周期的非自律系にみられる基本的な状態は,周期的な性質を持つ解

img8.png ... (5)

である.これを周期解(periodic solution) という.ここに, img9.png は適当な正の整数とする.周期解は元の動的システムの周期振動に対応している.




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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3227d)