Poincaré写像


自律系方程式における Poincaré写像

自律系方程式

img1.png ... (1)

における周期解の著しい特徴は,状態が 1 周期毎に元の状態に還ってくる性質である.式 (1) の周期解とは,ある正数 img2.png があって

img3.png ... (2)

の性質を持つ解のことである.すなわち周期軌道は,状態空間内で閉曲線となっていて周期解はこの曲線上でのみ運動している.この性質を用いて周期解の近傍の解の様子を幾何学的に考えてみよう.

いま,周期 img2.png の周期解があったとしてこれを

img4.png ... (3)

で表したとしよう.このとき,初期値 img5.png は周期軌道上どこに取ってもよい.また,周期軌道の近くの解軌道はほぼ周期軌道に平行に走っている.そこでこれらの軌道に横断的な超曲面 img6.png を 1 つ考えて,初期値をこの曲面上に限定して与えることにしよう.すると解曲線と初期値の間に対応関係を定義できる.このことを定式化してみよう.

まず,超曲面 img6.png を関数:

img7.png ... (4)

を用いて

img8.png ... (5)

で定義しよう.いま考えている周期解は点 img9.png でこの超曲面を横切るものとする.すなわち,解

img10.png ... (6)

が周期解としよう.するとこの周期解と超曲面 img6.png が横断的に交わる条件は

img11.png ... (7)

となる.ベクトル場 img12.png と横断的に交わる超曲面は一般に局所的にしか定義できない.式 (7) が成り立てば点 img5.png の近傍で超曲面が局所的に存在することがいえる.この超曲面 img6.png のことを周期解 (6) に関する''局所断面(local cross section) という.

さて,このような局所断面を適切に選んだとしよう.すると超曲面上の点 img9.png の近傍 img13.png から img6.png への写像 img14.png を,解曲線を使って次のように定義することができる.

img15.png ...(8)

ここに,img16.png は初期値 img17.png を出発した解 img18.png が再び最初に img6.png と交わるまでの時間を表す.img16.pngimg19.png の関数となっている.この時間 img16.png最初の帰還時間(first return time) または単に帰還時間という.また,写像 img14.pngポアンカレ写像(Poincaré map) または帰還写像 (Return map:リターンマップ) と呼ばれている. 図 1 参照.

img20.png

図 1: 周期解とポアンカレ写像.

写像 img14.png を用いると,周期解の初期値は

img21.png ... (9)

で表される img14.png固定点となる.また帰還時間

img22.png ... (10)

となり,周期解の周期となる.したがって,周期解 (6) と写像 img14.png の固定点 img5.png の間に 1:1 の対応関係ができる.

以上のことからポアンカレ写像を用いると,周期解の問題は状態空間の次元が 1 次元小さい局所断面上の離散力学系の問題に換言できることが分かる.このことによって周期解の定性的性質を調べることが容易になる場合が多い.特に数値計算で周期解を求める場合には有効である.



例) ポアンカレ写像

次の2 次元自律系方程式を考える:

img23.png ... (11)

極座標表示では

img24.png ... (12)

となる.このことから局所断面 img6.png として動径方向を選べばよいので,これを img19.png 軸に選ほう.

img25.png ... (13)

すると img19.png 軸の初期値 img5.png を出発した解は, 式 (12) の第 1 式に従って, img26.png 時間後に img6.png にかえってくる. この点を img27.png としよう.

さて,式 (12) の第 1 式は積分できて

img28.png ... (14)

と表すことができる.ここに,img29.png は積分定数である.この解を用いて, img30.pngimg19.png 座標を同じとみたことから,初期値 img9.png を代入し整理すると

img31.png ... (15)

を得る.これより img6.png 上のポアンカレ写像 img14.png が定義できる.img14.png の固定点は img32.png であり,この点における微分係数より img33.png の場合漸近安定となることが分かる.図 2 参照.この例ではポアンカレ写像を具体的に記述できたが,一般にはほとんどの場合数値的にしか求めることができない.■

img34.png

図: 式 (15) のポアンカレ写像と安定固定点.



周期的非自律系のPoincaré写像

時間に関して周期的な非自律系の周期解を考えよう.すなわち,状態空間を img35.png とし,状態速度が次の非自律系となる場合を取りあげよう.

img36.png ... (16)

ここに,速度ベクトル img12.png は時間に関して周期 img2.png の周期関数とする:

img37.png ... (17)

初期値 img38.png を出発する式 (16) の解を

img39.png ... (18)

と書くことにする.周期 img29.png を持つ式 (16) の周期解とは

img40.png ... (19)

の性質を持つ解のことである.周期 img29.pngimg41.png の関係を持つ周期解を基本調波周期解(fundamental harmonic solution) あるいは系の基本調波振動という.また, img42.pngimg43.png は正の整数)の関係を持つ周期解を img44.png 分数調波周期解(subharmonic solution of order img43.png) という.

img45.png

図 3: 周期的非自律系のポアンカレ写像.

周期的非自律系の解の定性的性質はベクトル場が周期的となる式 (17) を用いて,自律系方程式系で定義したポアンカレ写像と同様な写像をうまく定義できる.この場合,断面として状態空間そのものを選ぶことができる.また,写像 img14.png

img46.png ... (20)

で定義すればよい.この写像はストロボ写像(stroboscopic mapping) または時間 img2.png 写像(time img2.png map) と呼ばれる. 図 3 参照.ここでは,この写像も単に非自律系のポアンカレ写像と呼ぶことにする.勿論写像 img14.png固定点や周期点が式 (16) の基本調波周期解や分数調波周期解に対応する.



例) Duffing 方程式

非線形バネで吊るされた質点の 1 次元運動や非線形インダクタを含む共振回路などのモデルとして Duffing 方程式:

img47.png ... (21)

が知られている.ここで img48.png は単調に増加する奇関数で img49.png とする. 式 (21) は,1 階連立方程式に書き直すと,次式のように周期 img26.png を持つ 2 次元非自律系となる.

img50.png ... (22)

この方程式には非自律系特有の非線形現象が数多く存在する.たとえば,非線形共振と呼ばれる複数個の基本調波周期解の存在,各種分数調波周期解の存在などが見られる. ■




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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3310d)