安定性


平衡点の安定性

平衡点の安定性は,系を平衡点の近傍で線形化することによって検討することができる.線形化によって得られる方程式は,線形定係数同次方程式となるため,解を陽に求めることができる.すなわち,問題は線形代数の固有値問題に換言され,固有値の性質によって双曲的(単純)な平衡点は位相幾何学的に分類が可能となる.img1.png 個の状態からなる img1.png 次元自律系では,一般に img2.png 個の位相幾何学的に性質の異なる双曲型平衡点のあることが分かる.また,ここで示される安定性の概念については Lyapounov によって提案された.

物理や工学などの応用分野において平衡点が平衡の位置として意味を持つためには,平衡点はある種の安定性の条件を満たさなければならない.平衡点の安定性についてはラグランジュ(Lagrange)以来,マックスエル(Maxwell)やラウス(Routh)などによって研究されたが,今日もっとよく使われている安定性の概念はリャプーノフ(A. M. Lyapounov) によって考えられたものである.~



安定性

まず,力学系の状態は初期値を与えると一意的に定まる.しかし,実在の物理系モデルとしての力学系を考えるとき,初期値には不確かさが付き物である.繰り返し実験のできる電気回路のような比較的検証の容易な系を考えてみても系の状態であるキャパシタ電圧やインダクタ電流をまったく同一の初期値に設定することはできないし,また使用する測定器による計測の誤差も必ず存在する.実験はこれらの精度以下の「初期値のずれ」は引き続いておこる現象に小さな変動しかもたらさないであろうことを暗に期待して行われる.では,初期値に関する解の連続性だけでこのことが期待できるのであろうか?

いま,img3.png を自律系:

img4.png ...(1)

の平衡点とし,初期値 img5.pngimg3.png の近傍に持つ任意の解を img6.png としよう,初期値に関する解の連続性は,時刻 img7.png での平衡点からの小さなずれを img8.png の範囲におさえる,すなわち img9.png とするためには,初期値のずれの許容範囲が img10.png でなければならないことを教えてくれる.したがって,初期値のずれの許容範囲 img11.pngimg12.png への依存性がどうなっているかが問題となる.一般に img13.png を大きくすれば img14.png も大きく取れるであろう.つまり img14.pngimg13.png に対しては増加関数となっている.他方,時刻 img7.png に関してはこのことはまったく期待できない.減少関数となる場合も容易に考えられる.

簡単な例として

img15.png ...(2)

を取りあげてみよう.

img16.png ...(3)

であるから,時刻 img7.png において平衡点である 0 からのずれを img13.png におさえるためには img17.png より img18.png でなければならない.このことは遠い未来においても,ずれを有限に保つには初期値は限りなく平衡点の近くに置かなければならないことを意味している.したがって,img19.png の極限を考えると img20.png となって初期値設定は不可能となる.実際,上式を数値計算するとして,img21.pngimg22.png の誤差を許すとしても img23.png となって倍精度計算でも初期値を与えづらくなる.

この状況から安定性の考え方が生まれたといえよう.未来のすべての時刻において img13.png 以内に解の変動をおさえるために,時刻 img24.png とは独立に img25.png が選択できれば平衡点は安定であると考えてよいであろう.



漸近安定

平衡点は,その近くの解が将来にわたって近くにとどまるとき,Lyapounov の意味で安定であるという.このことを少し詳しく言い換えてみよう.

いま,img3.png を自律系式(1)の平衡点とする.任意の正の実数 img8.pngを与えたとき,これに対応して正の実数 img26.png がとれて, img27.png を満足するどのような初期値 img28.png から出発する解 img6.png についても,すべての img29.png に対して img9.png とできる場合,平衡点 img3.pngLyapounov の意味で安定であるという.すなわち:

img30.png ...(4)

また,平衡点が Lyapounov の意味で安定でないとき,その平衡点不安定という.すなわち,論理式(4)を否定して

img31.png ...(5)

の場合,平衡点 img3.png は不安定である*1

一方,時間が経過したとき,平衡点の近傍の解が平衡点に近づく性質は漸近安定性(asymptotic stability)と呼ばれている.平衡点 img3.png が漸近安定 (asymptotically stable) であるとは

  1. img3.pngLyapounovn の意味で安定である.
  2. img33.png

の 2 つの条件が満たされる場合をいう.2 番目の条件を吸引的性質(attractivity) という.散逸系では大抵の場合,安定な平衡点は漸近安定となっている.以前に考えた双曲型の平衡点は,img32.png タイプの平衡点が漸近安定,他のタイプはすべて不安定である.

これまでの話を整理して,自律系方程式(1)の平衡点の安定性を検討する手順を考える.

  1. 平衡点を見いだす.すなわち,img34.png の解を見つける.
  2. 各平衡点について線形化方程式を求める.つまりヤコビ行列 img35.png を計算する.
  3. 上記のヤコビ行列の固有値を計算する.双曲型平衡点の条件を満たしておれば固有値から直ちに平衡点の位相的タイプが定まり,安定性が吟味できる.
  4. 双曲型平衡点でなければ,線形化方程式からは吟味できない.この場合は元の方程式(1)に還って,非線形項も考慮した別の方法を検討する.



固定点の安定性

連続系の平衡点と同様に,固定点に関して局所的にその安定性を定義することができる.離散時間系:

img36.png ...(6)

の固定点 img3.pngLyapounov の意味で安定であるとは,任意の正の実数 img8.png に対して,正の実数 img26.png があって img27.png を満足する img28.png を初期値とする解 img37.png は,すべての img38.png に対して定義され img39.png となる場合をいう:

img40.png ...(7)

また,固定点 img3.png漸近安定 (asymptotic stable) であるとは,次の 2 つの条件を満たす場合をいう:

  1. img3.pngリヤプーノフの意味で安定である.
  2. img41.png ...(8)

安定でない固定点を不安定という.双曲型の固定点は,不安定であるか漸近安定であるかのいずれかに限られる*2




*1 否定の命題は否定辞を文頭からどこまで後ろに置くかによって言い回しが色々あるので注意してほしい.
*2 なお,離散系の場合は運動が写像によって定義されていることから,逆写像を持たない系では,たとえ不安定な固定点であっても解がある時刻でちょうどこの不安定な固定点に帰ってくることがある.

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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3374d)