変分方程式


平衡点の変分方程式について

次式で与えられる力学系を考える.

img1.png ... (1)

img2.png を式 (1) の平衡点とし,この平衡点からの微少量のずれを img3.png としよう.img3.pngimg4.png変分(variation) という.変分に対する方程式を得るため, 点:

img5.png ... (2)

の運動を考えよう.式 (2) を式 (1) に代入して

img6.png ... (3)

を得る.変分 img3.png が十分に小さいものとすると,右辺をテイラー展開し:

img7.png ... (4)

となる.ここで img8.png の項は img3.png の 2 次以上の項を表す.式 (3) と (4) よりの線形部分を取り出すと

img9.png ... (5)

を得る.ここに

img10.png ... (6)

とおいた.img11.png, img12.png はいずれも点 img4.png における img13.png の微分(ヤコビ行列)を表す記法である. 式 (5) を平衡点 img4.png に関する変分方程式という. 式 (5) は平衡点 img4.png に関する式 (1) の線形化方程式ともいう.したがって平衡点からのずれ img3.png は, 近似的に式 (5) で表される線形定係数同次方程式の解となる.



例) van der Pol 方程式の平衡点

ファン・デア・ポール(van der Pol)方程式:

img14.png ... (7)

を考える. img15.png と置くと,

img16.png ... (8)

式 (8) の平衡点は

img17.png ... (9)

より,直ちに原点 img18.png のみであることが分かる.

この点における変分方程式は img19.png とすれば,

img20.png ... (10)

となる.



固定点の変分方程式について

次式で与えられる離散力学系を考える.

img21.png ... (11)

いま,点 img2.png が式 (11) の固定点とし,この固定点からの微少変動量(これを変分という)を img22.png とする:

img23.png ... (12)

これを式 (11) に代入して

img24.png ... (13)

を得る.変分 img22.png が十分に小さいものとすると, 右辺をテイラー展開し

img25.png ... (14)

となる.ここで img8.png の項は img22.png の 2次以上の項を表す.式 (13) と (14) より の線形部分を取り出すと

img26.png ... (15)

を得る.ここに

img27.png ... (16)

とおいた.式 (15) は固定点 img4.png に関する変分方程式 (variational equation) である.また,式 (15) を固定点 img4.png に関する式 (11) の線形化方程式ともいう.

式 (15) は線形定係数同次差分方程式となっている.このことから平衡点の場合と同様に, 式 (16) の行列 img28.png が適当な条件を満たせば式 (15) の解の性質によって元の式 (11) の固定点の性質を知ることができる.



例) Henon 写像の固定点

エノン(Henon)写像:

img29.png ... (17)

を考える.

式 (17) の固定点は

img30.png ... (18)

を解いて求められる. img31.png の場合は 2 つあり,それぞれ

img32.png ... (19)

となる.この点における変分方程式は img33.png とすれば,

img34.png ... (20)

となる.■



周期解の変分方程式について

周期解の安定性を検討するため,周期解からの変分に関する変分方程式を考える.これまでのように状態空間を img35.png とし,状態速度が次式で与えられる力学系を考える.

img1.png ... (21)

ここに, img36.png は時刻を表す実数であり img37.pngimg38.png は状態を表す img39.png. また, 状態の時間に関する微分は上付きドットで表した.

いま周期 img40.png の周期解 img41.png があったとして, この解からの変分を img3.png とする:

img42.png ... (22)

式 (22) を式 (21) に代入して

img43.png ... (23)

変分 img3.png が充分小さいと考えて,右辺を展開し img3.png の線形項のみを取り出すと,次式の変分方程式を得る.

img44.png ... (24)

ここに, img13.png の微分(ヤコビ行列)を

img45.png ... (25)

とおき, img46.png が解であるという性質:

img47.png ... (26)

を使って整理した.式 (25) の形から分かるように線形同次方程式 (24) の係数行列の各要素は,時間の関数であり一般には元の周期解の周期と同じ周期 img40.png を持つ周期関数となる.すなわち

img48.png ... (27)

したがって,周期解の安定性を調べるために変分方程式 (24) を用いるとすれば,周期係数を持った同次方程式 (24) の解の性質を知る必要がある.




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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3229d)