FIX operation 編


BF へ分岐点情報を渡すには?

分岐点が検出された後,そのパラメータ,状態変数値などの情報を BF に渡す必要がある.もちろん手作業で一つ一つ入力してもよいが,ミスの混入や,変数の数が多い場合にはそれも大変である.

一つの方法は,分岐点が検出された時点での情報を一時的に保時し,その情報を BF へと渡す方法である.その手順は次の通り:

  1. 分岐点を検出.

    FIXtoBF.png

  2. Tools -> Export BF point の順に選択.

    FIXtoBF2.png

  3. 分岐点情報の Export.Export 情報がリストボックス内に表示される.

    FIXtoBF3.png

  4. Program -> BF を選択.

    FIXtoBF4.png

  5. BF の初期起動時の様子.
    FIXtoBF5.png

  6. BF: Tools -> Import BF Point を選択.

    FIXtoBF6.png

  7. 各フィールドにアトラクタ情報が読込まれる.

    FIXtoBF7.png



stop ボタンを押した時の状態から再度 FIX を動かすには?

FIX にて分岐点を探索している最中に,

  • 変化させるパラメータを変更したい.
  • パラメータ変化のステップサイズを変更したい.
  • 設定オプションを変更したい. といった要求が発生する.この場合,Stop Button を押し,計算を停止させた後,設定を変更して,再度計算を行う事が必要になる.しかしながら,それまで計算していた結果を完全にクリアして計算を行うのでは,時間的にもリソース的にも無駄がある.そこで,計算を stop した後,設定を変更し,停止したパラメータ値から計算を再スタートする方法を以下に示す.
  1. Start Button を押すことで探索を開始.

    restart.png

  2. Stop Button を押して計算を停止する.

    restart2.png

  3. リストボックス内で右クリック.Import current states を選択.

    restart3.png

  4. 停止した時点でのパラメータ値,状態変数値が各々のフィールドに反映される.

    restart4.png

  5. 停止点のパラメータ値などが各欄に反映された後,変化パラメータや,step size を変更して,再び Start Button を押す.これにより計算(分岐点の探索)が Restart する.

    restart5.png



平衡点の分岐を探索したい

PP にて安定平衡点を見つけた場合,この平衡点の分岐点を探索することを考えよう.そのためには次のようにする.

  1. FIX を動かすための初期値を読込むには?を参考に,PPから初期値を Import する.
  2. 解析モードが平衡点(Equilibrium)であるかをチェック.

    eqFIX.png

  3. 変化パラメータを選択.2パラメータ平面上のどちら方向にパラメータを変化させていくかを決定する.X, Y は x軸,y軸として選択されたパラメータを示している.
  4. パラメータの変化分 step size を設定.この例では, x 軸方向のみにパラメータを動かす様に設定した.もちろん, y 軸方向のみにパラメータを変化させることや,パラメータ平面上を斜めに変化させることも可能.
  5. もし,停止させたいパラメータ値を設定したい場合は,stop 欄の Default 値を変更して停止パラメータ値を記入する.

    eqFIX2.png

  6. Start Button を押し計算をスタート.

    eqFIX3.png


  7. パラメータを微小変化させながら平衡点の固有値を評価する.この時,新しい Window が起動する.この Window は Gauss 平面を表しており,現在の固有値の位置が表示される.以下の例は Hodgkin-Huxley 方程式において,外部印加電流を増加させたときの Hopf 分岐点を検出した結果を示している.

    eqFIX4.png

  8. Hopf 分岐であることを確認する.下図は,固有値がどのようになっているかを確認したもの.固有値の実部が限りなくゼロに近付き,その固有値の虚部が存在することから,純虚数固有値となっていることがわかる.これで,分岐発生のパラメータ値,そのときの平衡点の座標値,すなわち初期分岐点を得たことになる.

    eqFIX5.png

  9. 初期分岐点が得られたならば,BF へ分岐点情報を渡すには? を参考に,BF へその情報を渡し,2パラメータ平面上での分岐集合の計算をすることになる.



リミットサイクルの分岐を探索したい

PP にて安定リミットサイクルをみつけた場合,このリミットサイクルの分岐点を探索することを考えよう.そのためには次のようにする.

  1. FIX を動かすための初期値を読込むには?を参考に,PPから初期値を Import する.
  2. 解析モードがリミットサイクルモード(Limit cycle)であるかをチェック

    lcFIX.png

  3. PP の時に設定した Poincare 断面の状態変数,帰還時間(リミットサイクルの周期)が正確に PP の時の状態を反映しているかをチェック.

    lcFIX2.png

  4. 変化パラメータを選択.2パラメータ平面上のどちら方向にパラメータを変化させていくかを決定する.X, Y は x 軸,y 軸として選択されたパラメータを示している.
  5. パラメータの変化分 step size を設定.この例では,x 軸方向のみにパラメータを動かす様に設定した.もちろん,y 軸方向のみにパラメータを変化させることや,パラメータ平面上を斜めに変化させることも可能.
  6. もし,停止させたいパラメータ値を設定したい場合は,stop 欄の Default 値を変更して停止パラメータ値を記入する.

    lcFIX3.png

  7. Start Buttonを押し計算をスタート.

    lcFIX4.png

  8. パラメータを微小変化させながらリミットサイクルの特性乗数値を評価する.この時,新しい Window が起動する.この Window は Gauss 平面を表しており,現在の特性乗数の位置が表示される.以下の例は Morris-Lecar モデル方程式において,外部印加電流を増加させたときの Saddle-node 分岐点を検出した結果を示している.

    lcFIX5.png

  9. リミットサイクルの Saddle-node 分岐であることを確認する.下図は,特性乗数値がどのようになっているかを確認したもの.リミットサイクルの解析は Poincare 断面を考え,連続な解軌道を断面上の点列の運動に帰着させて解析を行う.このとき,特性乗数の1つは必ず1となる.これはリミットサイクルの解軌道が Poincare 断面に対して横断的に交わることを反映したものである.残る特性乗数の実部が"1"に近付いていることがわかる.完全にになることはない.FIX 内部で利用しているNewton 法のヤコビ行列が,Saddle-node 分岐点で非正則行列となるため,Newton 法自身が収束しなくなるのが原因である.十分特性乗数が"1"に近ければ,分岐点の良い近似値が得られたことになる.

    lcFIX6.png

  10. 初期分岐点が得られたならば,BF へ分岐点情報を渡すには? を参考に,BF へその情報を渡し,2パラメータ平面上での分岐集合の計算をすることになる.



周期解の分岐を探索したい

PP を利用して安定周期解をみつけた場合,この周期解の分岐点を探索することを考えよう.そのためには次のようにする.

  1. FIX を動かすための初期値を読込むには?を参考に,PPから初期値を Import する.
  2. PP の時に設定した Poincare 写像の周期が正確に PP の時の状態を反映しているかをチェック.

    pdFIX.png

  3. 変化パラメータを選択.2パラメータ平面上のどちら方向にパラメータを変化させていくかを決定する.X, Y は x 軸,y 軸として選択されたパラメータを示している.
  4. パラメータの変化分 step size を設定.この例では,x 軸方向のみにパラメータを動かす様に設定した.もちろん,y 軸方向のみにパラメータを変化させることや,パラメータ平面上を斜めに変化させることも可能.
  5. もし,停止させたいパラメータ値を設定したい場合は,stop 欄の Default 値を変更して停止パラメータ値を記入する.

    pdFIX2.png

  6. Start Button を押し計算をスタート.

    pdFIX3.png

  7. パラメータを微小変化させながら,周期点の特性乗数値を評価する.この時,新しい Window が起動する.この Window は Gauss 平面を表しており,現在の特性乗数の位置が表示される.周期外力の周波数 omega を増加させると複素共役な2つの特性乗数が "|1|"に近付くように動き,単位円を横切る.よって Neimark-Sacker 分岐発生点を通過したこととなる.現在の Default 設定では,分岐点検出時の動作を変更するにあるように,case 2 が選択されている.そのため,Neimark-Sacker 分岐点を通過したことが検出されると直ちにパラメータ変化の方向を逆転させ,逆向きに計算をはじめる.分岐点を通過するごとに step size を半分にして,分岐発生パラメータ値を追い込んでいく.正確な分岐点が得られた後,FIX は停止する.下の例はアカパンカビモデルにみられる周期振動の Neimark-Sacker 分岐の発生点を求めたところの様子を示している.

    pdFIX4.png

  8. 分岐点を検出した際,特性乗数値がどのようになっているかは常にチェックすべき項目である.2つの特性乗数絶対値が 1 に付いていく様子をみる.十分特性乗数の絶対値が 1 に近ければ,Neimark-Sacker 分岐点の良い近似値を得たことになる.

    pdFIX5.png

  9. 初期分岐点が得られたならば,BF へ分岐点情報を渡すには? を参考に,BF へその情報を渡し,2パラメータ平面上での分岐集合の計算をすることになる.



固定点(周期点)の分岐を探索したい

PP を利用して安定周期点をみつけた場合,この周期点の分岐点を探索することを考えよう.そのためには次のようにする.

  1. FIX を動かすための初期値を読込むには?を参考に,PPから初期値を Import する.
  2. PP の時に設定した Poincare 写像の周期が正確に PP の時の状態を反映しているかをチェック.

    fixFIX.png

  3. 変化パラメータを選択.2パラメータ平面上のどちら方向にパラメータを変化させていくかを決定する.X, Y は x 軸,y 軸として選択されたパラメータを示している.
  4. パラメータの変化分 step size を設定.この例では,x 軸方向のみにパラメータを動かす様に設定した.もちろん,y 軸方向のみにパラメータを変化させることや,パラメータ平面上を斜めに変化させることも可能.
  5. もし,停止させたいパラメータ値を設定したい場合は,stop 欄の Default 値を変更して停止パラメータ値を記入する.

    fixFIX2.png

  6. Start Button を押し計算をスタート.

    fixFIX3.png

  7. パラメータを微小変化させながら,周期点の特性乗数値を評価する.この時,新しい Window が起動する.この Window は Gauss 平面を表しており,現在の特性乗数の位置が表示される.パラメータ a を増加させると特性乗数の1つが "-1"に近付くように動き,-1 を通過する.よって周期倍分岐発生点を通過したこととなる.現在の Default 設定では,分岐点検出時の動作を変更するにあるように,case 2 が選択されている.そのため,周期倍分岐点を通過したことが検出されると直ちにパラメータ変化の方向を逆転させ,逆向きに計算をはじめる.分岐点を通過するごとに step size を半分にして,分岐発生パラメータ値を追い込んでいく.正確な分岐点が得られた後,FIX は停止する.下の例は Henon 写像にみられる5周期点の周期倍分岐の発生点を求めたところの様子を示している.

    fixFIX4.png

  8. 分岐点を検出した際,特性乗数値がどのようになっているかは常にチェックすべき項目である.特性乗数の1つが -1 に付いていく様子をみる.十分特性乗数が -1 に近ければ,分岐点の良い近似値を得たことになる.

    fixFIX5.png

  9. 初期分岐点が得られたならば,BF へ分岐点情報を渡すには? を参考に,BF へその情報を渡し,2パラメータ平面上での分岐集合の計算をすることになる.




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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3309d)