PP poincare 編


Poincare 断面を設定するには?

リミットサイクルの分岐を調べるには,Poincare 断面を定義し,その断面上の写像点の解析へと帰着させることにより行う.その Poincare 断面は,リミットサイクルに横断的に交わるように設定しなければならない.そこで,ユーザーは自らの判断で,リミットサイクルに横断的に交わる様な Poincare 断面を設定する.

Poincare 断面の設定法としては,以下の3通りを選択できる.

  • 任意の状態変数を選択し,任意値によって断面を設定
  • 任意の状態変数を選択し,平衡点の座標値によって断面を設定
  • 任意の関数系に従って断面を設定

それぞれの設定方法は以下の通り:

任意の固定値で設定

例えば,Hodgkin-Huxley 方程式は外部から印加する直流電流を大きくしていくと繰り返し発火を生じる.これは,リミットサイクル振動に対応する.このリミットサイクルの分岐を調べるには,Poincare 断面上の写像点を得る必要があるため,Poincare 断面を設定する.例えば,膜電位が 0 [mV] を横切る所に断面を設定するといった具合にユーザーがリミットサイクルに横断的に交わるように任意の状態変数の任意の値を設定する.

  1. Setting -> Poincare を選択

    start.png

  2. 設定 window が起動.

    start2.png

  3. 設定モードとして,Fixed value を選択.

    poincare.png

  4. リミットサイクルの何処に Poincare 断面を設定するかを決定する.プルダウンメニューより Poincare 断面として設定する状態変数を選択する.

    poincare2.png

  5. テキストボックス内に設定値を記入する.この例では,状態変数 x[1]( V : HH 方程式の膜電位に相当)を選択し,x[1]=-30 [mV] を Poincare 断面として選んだ.

    poincare3.png

  6. リミットサイクル上に Poincare 断面上の写像点が表示される.

    poincare4.png



平衡点の座標を基準に設定(その1)

リミットサイクルは平衡点が不安定化して発生する.従って,リミットサイクルは平衡点の周りに解軌道があると考える事ができる.そこで,不安定化した平衡点を基準とする Poincare 断面を構成すれば,パラメータを変化させた時に,設定した Poincare 断面に解軌道が接するといった状況の発生を回避することができる.

問題は,不安定平衡点の座標値をどのようにして得るか?という問題であるが,以下のようにすれば良い.

  1. Setting -> Poincare を選択

    start.png

  2. 設定 window が起動.

    start2.png

  3. search ボタンを押すと平衡点探索の為の初期値入力パネルが起動する.

    poincare5.png

  4. 適切な初期値を与えて calculate ボタンを押すことで平衡点の探索を開始.適切な初期値であれば,ある平衡点座標が得られる*1.探索に成功した場合,OK ボタンを押して,座標値を反映させる.

    poincare6.png

    (a) 探索成功の例

    poincare7.png

    (b) 探索失敗の例

  5. 得られた平衡点座標値を基に Poincare 断面を設定する Equilibrium をチェック.

    poincare8.png

  6. 状態変数の pull down メニューから,Poincare 断面として設定したい状態変数を選択する.

    poincare9.png

  7. リミットサイクル上に Poincare 断面上の写像点が表示される.

    poincare10.png



平衡点の座標を基準に設定(その2)

リミットサイクルの軌道内に複数の平衡点が存在する場合,適当な初期値を与えて,平衡点を探索することで,望んでいない平衡点を検出してしまう可能性がある.また,与えた初期値が適切でなかった為に,不安定平衡点の検出に失敗する場合もあるだろう.

その場合は,平衡点の座標を FIX ツールを利用して検出する必要がある.

  1. まず,リミットサイクルになる前のパラメータ値で,安定平衡点を捕まえる.この目的の為には,平衡点を表示するには?を参照のこと.
  2. 次に安定平衡点の分岐を調べる為に,その平衡点情報を FIX へと渡す.この為には,FIX へアトラクタ情報を渡すには?(その1)や,FIX へアトラクタ情報を渡すには?(その2)を参照.
  3. FIX を起動し,分岐点の探索を行う. 平衡点の分岐を探索したいを参照.この時,リミットサイクルが観測できていたパラメータ値まで FIX を動かす.オプション設定で分岐点を検出しても計算をし続けるモードに設定しておくと良い*2.そして,end parameter の設定をリミットサイクルを観測していた時のパラメータ値に設定しておく.
  4. FIX が停止した時に,平衡点の座標がリストボックス内に表示されている.

    poincare18.png

  5. この座標値を平衡点探索の初期値として各フィールドに与える.Calculate ボタンを押して平衡点のサーチを開始.

    poincare19.png

  6. 不安定平衡点の探索完了.OK ボタンを押して,座標値を反映させる.

    poincare20.png

  7. 得られた平衡点座標値を基に Poincare 断面を設定する Equilibrium をチェック.

    poincare8.png

  8. 状態変数の pull down メニューから,Poincare 断面として設定したい状態変数を選択する.

    poincare9.png

  9. リミットサイクル上に Poincare 断面上の写像点が表示される.

    poincare10.png



任意の関数系で設定

リミットサイクル の軌道が,位相空間内である対称性をもつ場合,任意の関数系で Poincare 断面を設定した方が都合の良い場合がある.そのためのモードである*3

  1. Setting -> Poincare を選択

    start.png

  2. 設定 window が起動.

    start2.png

  3. 関数記述フィールドに関数を記述する.

    poincare11.png

  4. 関数系の記述が行われると,設定モードとして,Equation を選択できるようになる.ここで Equation を選択.

    poincare12.png

  5. 以下は x[1]+x[2]=0 の関数によって Poincare 断面を設定した際の例.リミットサイクル上に Poincare 断面上の写像点が表示される.

    poincare13.png



Poincare 断面とリミットサイクルが交差する時の向きを変えるには?

リミットサイクルに横断的に交わる Poincare 断面は,2通りの設置が可能である.例えば,下図左にあるように,リミットサイクルの軌道が断面の上から下へ横切るか,右図のように,断面の下から上に横切るか?である.

poincare21.png

解軌道が,Poincare 断面のどちら側から交差するか?は,数値計算時の収束性に影響を与えるかもしれない.もし,その後の計算で収束性が悪い場合,Poincare 断面との交差の向きを変更することで良い結果を得られるかもしれない.ここでは,リミットサイクルと Poincare 断面との交差の向きを設定する方法を示す.

  1. Setting -> Poincare を選択

    start.png

  2. 設定 window が起動.

    start2.png

  3. 設定パネル内の direction にある pull down メニューから,Poincare 断面の向きを選択する.
    • +: Poincare 断面の上側から横切る向きに設定(上図左に対応)
    • -: Poincare 断面の下側から横切る向きに設定(上図右に対応)
    • + & -: Poincare 断面の上側および下側から横切る向きに2つの断面を設定.ただし,Poincare 写像点として利用されるのは,上側から横切る向きに設定した断面上の値.

      poincare14.png

  4. 以下はそれぞれの向きに設定した際の Poincare 断面の様子.赤点が断面上の Poincare 写像点を示している.

    poincare15.png

    (a) + を選択した場合.

    poincare16.png

    (b) - を選択した場合.

    poincare17.png

    (c) + & - を選択した場合.



Poincare 写像点(周期点)を打つ回数を制御したい

PP の default 設定では,Poincare 写像点はその section を打つ毎に点が表示されるようになっている.例えば,Poincare 断面上の点をスタートして,再び Poincare 断面を打つ点は赤点で表示される.リミットサイクルが複数回 Poincare 断面を横断する場合,default 設定では,最初に Poincare 断面と交差した点以外の点は緑点で表示される.すなわち,2巻きのリミットサイクルに横断的な Poincare 断面を設定した場合は,描画 window に描かれる軌道上にの点を交互に打つ.また,非自律系,離散系でみられる2周期解(2周期点)も同様に,赤と緑の点を交互に打つように設定されている.

Poincare 断面上のある点をスタートして,再び同じ点に戻ってくるまでの間に Poincare 断面を交差する点(緑点)の表示を止めたい場合には,以下の様に設定する.

  1. 自律系非自律系の場合は,Setting -> Poincare を選択.離散系の場合は,Setting -> Map を選択.

    start.png

    (a) 自律系・非自律系の場合.

    start3.png

    (b) 離散系の場合.

  2. 設定 window が起動.

    start4.png

    (a) 自律系の場合.

    start5.png

    (b) 非自律系の場合.

    start6.png

    (c) 離散系の場合.

  3. 設定 Window 内の submap スイッチを OFF にする(チェックを外す.)*4

    poincare22.png

  4. 以下は,submap スイッチの OnOff の場合での描画の違いを示している.

    poincare23.png

    (a) submap スイッチ On

    poincare24.png

    (b) submap スイッチ Off



Poincare 写像点(周期点)の表示色を変更したい

Poincare 断面上の点をスタートして,再び Poincare 断面を打つ点は赤点で表示される.リミットサイクルが複数回 Poincare 断面を横断する場合,default 設定では,最初に Poincare 断面と交差した点以外の点は緑点で表示される.すなわち,2巻きのリミットサイクルに横断的な Poincare 断面を設定した場合は,描画 window に描かれる軌道上にの点を交互に打つ.また,非自律系,離散系でみられる2周期解(2周期点)も同様に,赤と緑の点を交互に打つように設定されている.

この緑点で表示される点の色を変えたい場合は,次の様に行う.

  1. 自律系非自律系の場合は,Setting -> Poincare を選択.離散系の場合は,Setting -> Map を選択.

    start.png

  2. 設定 window が起動.

    start4.png

  3. 設定 window 内の submap 以下の color ボタンを押す.

    poincare25.png

  4. Color パレットが起動.

    poincare26.png

  5. 変更したい色を選択.もしくは,直接 RGB 値を記入しても良い.選択完了後,OK ボタンを押して設定終了.

    poincare27.png

  6. 以下は, からへ変更した場合の例.

    poincare23.png

    (a) Default 設定時

    poincare28.png

    (b) 変更後の様子




*1 探索の失敗は,与えた初期値が適切で無い場合に起こる.その場合は平衡点の座標を基準に設定(その2)を参照のこと
*2 分岐点検出時の動作を変更するを参照
*3 視覚的な効果を得る為のものであり,現在は,任意の関数系で Poincare 断面を設定した場合,その後の分岐点探索や,分岐集合の追跡などは行えないことに注意.
*4 自律系の例で示したが,非自律系・離散系共に操作は同じ.

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Last-modified: 2009-07-23 (Thu) 20:18:53 (3309d)