LEFT:[[FIX]]
CENTER:[[manual]]
RIGHT:[[FrontPage]]
RIGHT:[[FrontPage]]~

&br;&br;&br;
RIGHT:&size(40){変分方程式};
&br;&br;
RIGHT:&size(30){変分方程式};~
&br;&br;

&br;&br;&br;
LEFT:&size(30){''平衡点の変分方程式について''};

LEFT:&size(20){''平衡点の変分方程式について''};
----
次式で与えられる力学系を考える.
CENTER:&ref(img1.png);       ...   (1)
次式で与えられる力学系を考える.~
&br;
CENTER:&ref(img1.png);       ...   (1)~
&br;

点 &ref(img2.png); を式 (1) の[[平衡点>EquilibriumPoint]]とし,この[[平衡点>EquilibriumPoint]]からの微少量のずれを &ref(img3.png); としよう. &ref(img3.png); を &ref(img4.png); の''&color(red){変分};''(variation) という. 変分に対する方程式を得るため, 点: 
CENTER:&ref(img5.png);        ...  (2)
点 &ref(img2.png); を式 (1) の[[平衡点>EquilibriumPoint]]とし,この[[平衡点>EquilibriumPoint]]からの微少量のずれを &ref(img3.png); としよう.&ref(img3.png); を &ref(img4.png); の''&color(red){変分};''(variation) という.変分に対する方程式を得るため, 点:~
&br; 
CENTER:&ref(img5.png);        ...  (2)~
&br;

の運動を考えよう.  式 (2) を式 (1) に代入して
CENTER:&ref(img6.png);        ...  (3)
の運動を考えよう.式 (2) を式 (1) に代入して~
&br;
CENTER:&ref(img6.png);        ...  (3)~
&br;

を得る.変分 &ref(img3.png); が十分に小さいものとすると, 右辺を''テイラー展開''し:
CENTER:&ref(img7.png);     ...     (4)
を得る.変分 &ref(img3.png); が十分に小さいものとすると,右辺を''テイラー展開''し:~
&br;
CENTER:&ref(img7.png);     ...     (4)~
&br;

となる.ここで &ref(img8.png); の項は &ref(img3.png); の 2 次以上の項を表す. 式 (3) と (4) よりの線形部分を取り出すと
CENTER:&ref(img9.png);      ...    (5)
となる.ここで &ref(img8.png); の項は &ref(img3.png); の 2 次以上の項を表す.式 (3) と (4) よりの線形部分を取り出すと~
&br;
CENTER:&ref(img9.png);      ...    (5)~
&br;

を得る.ここに
CENTER:&ref(img10.png);          (6)
を得る.ここに~
&br;
CENTER:&ref(img10.png);     ...     (6)~
&br;

とおいた. &ref(img11.png);, &ref(img12.png); はいずれも点 &ref(img4.png); における &ref(img13.png); の微分(ヤコビ行列)を表す記法である. 式 (5) を&color(red){平衡点 &ref(img4.png); に関する変分方程式};という. 式 (5) は平衡点 &ref(img4.png); に関する式 (1) の''[[線形化方程式>VariationalEquation]]''ともいう.したがって平衡点からのずれ &ref(img3.png); は, 近似的に式 (5) で表される''線形定係数同次方程式の解''となる.
とおいた.&ref(img11.png);, &ref(img12.png); はいずれも点 &ref(img4.png); における &ref(img13.png); の微分(ヤコビ行列)を表す記法である. 式 (5) を&color(red){平衡点 &ref(img4.png); に関する変分方程式};という. 式 (5) は平衡点 &ref(img4.png); に関する式 (1) の''[[線形化方程式>VariationalEquation]]''ともいう.したがって平衡点からのずれ &ref(img3.png); は, 近似的に式 (5) で表される''線形定係数同次方程式の解''となる.~

&br;&br;&br;
&br;&br;
LEFT:&size(20){''例) van der Pol 方程式の平衡点''};
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ファン・デア・ポール(van der Pol)方程式:
CENTER:&ref(img14.png); ...(7)
ファン・デア・ポール(van der Pol)方程式:~
&br;
CENTER:&ref(img14.png);     ...     (7)~
&br;

を考える. &ref(img15.png); と置くと,
CENTER:&ref(img16.png);...(8)
を考える. &ref(img15.png); と置くと,~
&br;
CENTER:&ref(img16.png);     ...     (8)~
&br;

式 (8) の平衡点は
CENTER:&ref(img17.png);...(9)
式 (8) の平衡点は~
&br;
CENTER:&ref(img17.png);     ...     (9)~
&br;

より,直ちに原点 &ref(img18.png); のみであることが分かる.

この点における変分方程式は &ref(img19.png); とすれば,
CENTER:&ref(img20.png);...(10)
この点における変分方程式は &ref(img19.png); とすれば,~
&br;
CENTER:&ref(img20.png);     ...     (10)~
&br;

となる.
&br;&br;&br;&br;&br;
LEFT:&size(30){''固定点の変分方程式について''};
となる.~

&br;&br;
LEFT:&size(20){''固定点の変分方程式について''};
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次式で与えられる離散力学系を考える.
CENTER:&ref(img21.png); ...(11)
次式で与えられる離散力学系を考える.~
&br;
CENTER:&ref(img21.png);     ...     (11)~
&br;
いま,点 &ref(img2.png); が式 (11) の[[固定点>FixedPoint]]とし,この[[固定点>FixedPoint]]からの微少変動量(これを''変分''という)を &ref(img22.png); とする:~
&br;
CENTER:&ref(img23.png);     ...     (12)~
&br;

いま,点 &ref(img2.png); が式 (11) の[[固定点>FixedPoint]]とし, この[[固定点>FixedPoint]]からの微少変動量(これを''変分''という)を &ref(img22.png); とする:
CENTER:&ref(img23.png);...(12)
これを式 (11) に代入して~
&br;
CENTER:&ref(img24.png);     ...     (13)~
&br;

これを式 (11) に代入して
CENTER:&ref(img24.png);...(13)
を得る.変分 &ref(img22.png); が十分に小さいものとすると, 右辺をテイラー展開し~
&br;
CENTER:&ref(img25.png);     ...     (14)~
&br;

を得る.変分 &ref(img22.png); が十分に小さいものとすると, 右辺をテイラー展開し
CENTER:&ref(img25.png);...(14)
となる.ここで &ref(img8.png); の項は &ref(img22.png); の 2次以上の項を表す.式 (13) と (14) より の線形部分を取り出すと~
&br;
CENTER:&ref(img26.png);     ...     (15)~
&br;

となる.ここで &ref(img8.png); の項は &ref(img22.png); の 2次以上の項を表す.式 (13) と (14) より の線形部分を取り出すと
CENTER:&ref(img26.png);...(15)
を得る.ここに~
&br;
CENTER:&ref(img27.png);     ...     (16)~
&br;

を得る.ここに
CENTER:&ref(img27.png);...(16)

とおいた.式 (15) は&color(red){固定点 &ref(img4.png); に関する変分方程式}; (variational equation) である.また,式 (15) を固定点 &ref(img4.png); に関する式 (11) の''線形化方程式''ともいう.

式 (15) は''線形定係数同次差分方程式''となっている. このことから平衡点の場合と同様に, 式 (16) の行列 &ref(img28.png); が適当な条件を満たせば式 (15) の解の性質によって元の式 (11) の固定点の性質を知ることができる.
式 (15) は''線形定係数同次差分方程式''となっている.このことから平衡点の場合と同様に, 式 (16) の行列 &ref(img28.png); が適当な条件を満たせば式 (15) の解の性質によって元の式 (11) の固定点の性質を知ることができる.~

&br;&br;&br;&br;&br;
&br;&br;
LEFT:&size(20){''例) Henon 写像の固定点''};
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エノン(Henon)写像:
CENTER:&ref(img29.png);...(17)
エノン(Henon)写像:~
&br;
CENTER:&ref(img29.png);     ...     (17)~
&br;

を考える.

式 (17) の固定点は
CENTER:&ref(img30.png);...(18)
式 (17) の固定点は~
&br;
CENTER:&ref(img30.png);     ...     (18)~
&br;

を解いて求められる. &ref(img31.png); の場合は 2 つあり,それぞれ
CENTER:&ref(img32.png);...(19)
を解いて求められる. &ref(img31.png); の場合は 2 つあり,それぞれ~
&br;
CENTER:&ref(img32.png);     ...     (19)~
&br;

となる.この点における変分方程式は &ref(img33.png); とすれば,
CENTER:&ref(img34.png);...(20)
となる.この点における変分方程式は &ref(img33.png); とすれば,~
&br;
CENTER:&ref(img34.png);     ...     (20)~
&br;

となる.■
となる.■~

&br;&br;&br;
LEFT:&size(30){''周期解の変分方程式について''};
&br;&br;
LEFT:&size(20){''周期解の変分方程式について''};
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周期解の安定性を検討するため,周期解からの変分に関する変分方程式を考える.これまでのように状態空間を &ref(img35.png); とし,状態速度が次式で与えられる力学系を考える.
CENTER:&ref(img1.png);     ...(21)
周期解の安定性を検討するため,周期解からの変分に関する変分方程式を考える.これまでのように状態空間を &ref(img35.png); とし,状態速度が次式で与えられる力学系を考える.~
&br;
CENTER:&ref(img1.png);     ...     (21)~
&br;

ここに, &ref(img36.png); は時刻を表す実数であり &ref(img37.png);, &ref(img38.png); は状態を表す &ref(img39.png);. また, 状態の時間に関する微分は上付きドットで表した.

いま周期 &ref(img40.png); の周期解 &ref(img41.png); があったとして, この解からの変分を &ref(img3.png); とする:
CENTER:&ref(img42.png);     ...(22)
いま周期 &ref(img40.png); の周期解 &ref(img41.png); があったとして, この解からの変分を &ref(img3.png); とする:~
&br;
CENTER:&ref(img42.png);     ...     (22)~
&br;

式 (22) を式 (21) に代入して
CENTER:&ref(img43.png);     ...(23)
式 (22) を式 (21) に代入して~
&br;
CENTER:&ref(img43.png);     ...     (23)~
&br;

変分 &ref(img3.png); が充分小さいと考えて,右辺を展開し &ref(img3.png); の線形項のみを取り出すと,次式の変分方程式を得る.
CENTER:&ref(img44.png);     ...(24)
変分 &ref(img3.png); が充分小さいと考えて,右辺を展開し &ref(img3.png); の線形項のみを取り出すと,次式の変分方程式を得る.~
&br;
CENTER:&ref(img44.png);     ...     (24)~
&br;

ここに, &ref(img13.png); の微分(ヤコビ行列)を
CENTER:&ref(img45.png);     ...(25)
ここに, &ref(img13.png); の微分(ヤコビ行列)を~
&br;
CENTER:&ref(img45.png);     ...     (25)~
&br;

とおき, &ref(img46.png); が解であるという性質:
CENTER:&ref(img47.png);     ...(26)
とおき, &ref(img46.png); が解であるという性質:~
&br;
CENTER:&ref(img47.png);     ...     (26)~
&br;

を使って整理した.式 (25) の形から分かるように線形同次方程式 (24) の係数行列の各要素は,時間の関数であり一般には元の周期解の周期と同じ周期 &ref(img40.png); を持つ周期関数となる.すなわち
CENTER:&ref(img48.png);     ...(27)
を使って整理した.式 (25) の形から分かるように線形同次方程式 (24) の係数行列の各要素は,時間の関数であり一般には元の周期解の周期と同じ周期 &ref(img40.png); を持つ周期関数となる.すなわち~
&br;
CENTER:&ref(img48.png);     ...     (27)~
&br;

したがって,周期解の安定性を調べるために変分方程式 (24) を用いるとすれば,周期係数を持った同次方程式 (24) の解の性質を知る必要がある.
したがって,周期解の安定性を調べるために変分方程式 (24) を用いるとすれば,周期係数を持った同次方程式 (24) の解の性質を知る必要がある.~

LEFT:[[manual]]
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&br;&br;
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CENTER:[[manual]]
RIGHT:[[FrontPage]]

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